<<< назад | зміст | вперед >>>

Пендерецький О.В. Територіальна організація промислового туризму Карпатського суспільно-географічного району та основні напрямки її вдосконалення

РОЗДІЛ III. ЧИННИКИ РОЗВИТКУ ПРОМИСЛОВОГО ТУРИЗМУ КАРПАТСЬКОГО СУСПІЛЬНО-ГЕОГРАФІЧНОГО РАЙОНУ

3.3. Вплив погодних умов на результати моделювання рівня води річки Дністер

Через річку Дністер прокладено значну кількість мостів, газопроводів таких як: “Союз” (с. Коропець, Тернопільська область), “Прогрес" та “Урингой-Помари-Ужгород” (с. Михальче, Івано-Франківська область), на прибережній території розкинулися сільськогосподарські угіддя, збереглися руїни багатьох фортець і торговельних міст, привертаючи увагу мандрівників та любителів екстремального, промислового та інших видів туризму.

Тому для забезпечення надійної та безаварійної роботи промислових об’єктів, безпеки туризму та проживання людей на прилеглих територіях річки Дністер, важливе значення має прогнозування його паводків, що може викликати розмивання берегів та пошкодження навколишньої інфраструктури [13].

У 2009 р. велись спостереження за рівнем води р. Дністер у районі с. Нижнів Івано-Франківської обл. з 1.04 по 31.08. За цей самий період збирались дані про температуру повітря, кількість опадів, середню швидкість вітру та середньодобовий барометричний тиск.

На рис. 3.6 показано графік зміни рівня води у р. Дністер за вказаний період, аналіз якого засвідчує, що з часом має місце тренд h(t), який носить лінійний характер, та існує гармонічна складова G(t), зумовлена сезонною зміною метеорологічних умов [66], тобто

Ĥ_t = H_t + G(t) + h(t)   (3.13)

де: Ĥ_t – поточний рівень води, см;
G(t) - гармонічна складова рівня води, см;
h(t) – лінійний тренд, см.

3.6
Рисунок 3.6. Зміна рівня води у р. Дністер за період з 1.04 по 31.08.2009 року

Складову подамо у вигляді гармонічного ряду [19] з некратними частотами

(3.14)

де: – такти відліку часу, ;
, , – параметри гармонічного ряду (3.14);
– некратні частоти, .

Для того щоб за спостереженнями можна було б оцінити параметри ряду (3.14), необхідно виконання умови [19] .

Суму декількох гармонік ряду (3.14), у якому коефіцієнти , , визначені за методом найменших квадратів, а число гармонік і їх частоти вибрані так, щоби отримати мінімум деякого зовнішнього критерію селекції називають [1.90] гармонічним трендом оптимальної складності.

Виберемо деяку фіксовану точку і довільне . Запишемо

(3.15)

(3.16)

Використовуючи відомі тригонометричні співвідношення [28], знайдемо суму функцій (3.15) і (3.16)

(3.17)

Візьмемо суму за всіма від лівої і правої частин рівняння (3.17) з ваговими коефіцієнтами

формула

У правій частині останньої рівності змінимо порядок взяття суми

(3.18)

Вагові коефіцієнти виберемо таким чином [19], щоб задовольнялась умова

(3.19)

Знайдемо

(3.20)

Порівнюючи між собою рівняння (3.18) і (3.20) та враховуючи рівняння (3.19), отримаємо

(3.21)

Величина

(3.22)

характеризує точність, з якою коливний процес виражається через задану суму гармонічних складових. Іншими словами, значення функції у моменти часу, що симетрично розміщені відносно довільної точки i, повинні задовольняти отриманому рівнянні балансу (3.21). Якщо ця умова виконується, то .

Рівняння (3.19) для довільної частоти

формула

за допомогою рекурентного співвідношення [19]

формула

приводиться до алгебраїчного рівняння -ного степеня відносно

(3.23)

де . Рівняння (3.23) має коренів, які однозначно визначають частоти , . Таким чином, для знаходження параметрів , , і , гармонічного тренда необхідно спочатку визначити вагові коефіцієнти . Балансові коефіцієнти знаходять [19] із умови мінімізації нев’язки

(3.24)

де визначається рівнянням (3.22), у якому величини відповідних дискретних аргументів замінені на . Отже, будемо розв’язувати задачу

(3.25)

де - вектор вагових коефіцієнтів;

формула

Т – символ транспонування матриць.

Задачу (3.25) запишемо у матрично-векторній формі

(3.26)

де ,

формула

Мінімізація виразу (3.26) приводить до нормального рівняння Гауса, яке у матричній формі матиме такий вигляд:

(3.27)

Із останнього рівняння можна знайти

(3.28)

Використовувати формулу (3.28) можна лише тоді, коли розмірність вектора невелика і матриця є добре обумовленою. Якщо така умова не виконується, то для знаходження слід розв’язувати рівняння (3.27) одним із числових методів, наприклад, методом Гауса зі зворотним ходом [8].

Знаючи вагові коефіцієнти , можемо скласти рівняння (3.23), розв’язок якого відносно z дає змогу однозначно визначити частоти гармонік , . Тепер задача полягає в оптимальному синтезі гармонічного ряду (3.14).

Відомі два підходи [19] до вирішення поставленої задачі. Перший з них передбачає викреслювання гармонік у різних комбінаціях із повного ряду , .

Другий метод ґрунтується на ідеях багаторядних алгоритмів групового урахування аргументів (МГУА). Відповідно до цього методу число гармонік, що включаються у модель, постійно зростає до того часу, поки це призводить до зменшення критерію селекції. Найпростішим є алгоритм з послідовним виділенням найкращої моделі у кожному ряду. Але ефективнішим є алгоритм, коли виділяється кілька гармонік у кожному ряду. Нехай отримана деяка реалізація вихідної величини процесу довжиною . Деяка частина цих даних, яка вміщує послідовних точок спостережень виділяється у навчальну послідовність. Інші точки розбиваються на дві частини: перша – перевірна і друга – екзаменаційна. Всього точок: . На першому ряді селекції за всіма заданими точками виділяються всі можливі тренди гармонічного ряду; максимальне число трендів [19] . Із них вибирають не єдиний тренд, а трендів, які найбільшою мірою задовольняють вибраний критерій селекції. Після цього обчислюється q залишків (залишком називають різницю ординат коливного процесу і кожного із трендів першого ряду). На другому ряду селекції із кожного залишку знову виділяється трендів. Із всієї множини отриманих трендів другого ряду за тим же критерієм селекції вибирають q кращих трендів цього ряду і т. д. Величину свободи вибору q рекомендовано вибирати на основі ряду проб, а вибір найкращих трендів здійснюють за точками окремої перевірної послідовності. Складність моделі (число рядів селекції) збільшується доти, поки зменшується величина критерію селекції. На останньому ряді селекції вибирають єдиний розв’язок, який відповідає мінімуму критерію селекції.

Недоліком першого підходу до вирішення поставленої задачі є необхідність перебору великого числа варіантів, яке визначається як сума . Відомо, що . Якщо , то . Отже, . Наприклад, при необхідно перебрати 1048575 варіантів, що потребує значних затрат машинного часу. Для другого підходу характерним є те, що у результаті реалізації багаторядного алгоритму МГУА неможливо отримати математичну модель у явному вигляді і це є суттєвим недоліком такого методу.

Нами запропонований інший підхід побудови математичних моделей коливних процесів, який базується на ідеях генетичних алгоритмів. Суть такого підходу у наступному.

Вся реалізація вихідної величини процесу або явища розбивається на три частини у такій пропорції [21]: , і . Для множини даних визначаються вагові коефіцієнти як розв’язок лінійного алгебраїчного рівняння (1.44) за методом виключення Гауса з вибором головного елементу [6]. Розв’язок рівняння (3.22) відносно змінної z дає можливість знайти частоти , . За відомими частотами на множині точок необхідно знайти параметри моделі (3.14) , і . Поставлену задачу будемо розв’язувати, використовуючи генетичні алгоритми [57]. Утворимо упорядковану структуру довжиною m, в якій на -тому місці буде стояти нуль або одиниця в залежності від того чи частота вилучена із вибраного повного ряду m чи залишена. У теорії генетичних алгоритмів така упорядкована послідовність носить назву хромосоми або особі, а атомарний елемент хромосоми (одиниця або нуль) – це ген. Набір хромосом утворює популяцію. Важливим поняттям у теорії генетичних алгоритмів є функція пристосування, яка визначає ступінь пристосування окремих осіб у популяції. Вона дає змогу із всієї популяції вибрати особі, які є найбільш пристосованими, тобто такі, які мають найбільше (найменше) значення функції пристосування. У задачі синтезу моделей коливних процесів функцією пристосованості виступає комбінований критерій селекції [20]

(3.29)

де - критерій зміщення, який обчислюють за такою формулою:

(3.30)

B – функція нев’язки, що визначається як (3.24);
, - величини, значення яких обчислені відповідно на множині точок N за формулою (3.14), а коефіцієнти моделі (3.14) знайдені відповідно на множинах і .

Таким чином, задачу синтезу моделі коливного процесу сформуємо наступним чином: із початкової популяції хромосом шляхом еволюційного відбору вибрати таку хромосому, яка забезпечує найкраще значення функції пристосування (мінімальне значення критерію селекції (3.30)).

Генетичний алгоритм складається із таких кроків [57]:

К1. Формування початкової популяції (ініціалізація). На першому кроці роботи алгоритму випадковим чином формується популяція із осіб, кожна із яких є хромосомою довжиною .

К2. Оцінювання пристосованості хромосоми у популяції. Для кожної хромосоми обчислюється критерій селекції (3.30). Здійснюють дану процедуру таким чином. Відповідно до моделі (3.14) формується матриця

формула

У сформованій хромосомі подвоюємо одиниці і нулі. Наприклад, якщо згенерована на першому кроці хромосома була такою: , то після виконання операції подвоєння вона набуде такого вигляду:

формула

Оскільки у моделі (3.14) завжди наявний коефіцієнт , то до хромосоми на першу позицію додаємо одиничний ген. У результаті отримаємо .

Необхідність операції подвоєння пояснюється тим, що кожній частоті відповідає пара коефіцієнтів , . Відповідно до сформованої хромосоми із матриці F формуємо нову матрицю шляхом вилучення тих стовпців із матриці F, які асоційовані із нулями хромосоми . Із отриманої матриці утворимо дві матриці і розмірами і . Матрицю утворюють перші стовпці матриці , а другу – останні стовпці матриці . На множинах точок і обчислюються ненульові коефіцієнти , і моделі (3.14) шляхом розв’язку нормального рівняння Гауса

(3.31)

(3.32)

де ,
– вектори параметрів моделі, яка асоційована з черговою хромосомою із початкової популяції і обчислені за формулами (3.31) і (3.32);
, – вектори експериментальних даних на множині точок і .

За відомою сукупністю коефіцієнтів і моделі (3.14) на множині точок N обчислюють

формула

За формулою (3.29) обчислюють критерій селекції, де знаходять відповідно до (3.22) і (3.24). Значення критерію селекції обчислюють для кожної хромосоми і в результаті отримують множину значень , , де - кількість хромосом у популяції.

К3. Перевірка умови зупинки алгоритму. Визначають

(3.33)

Якщо мінімальне значення (3.33) критерію селекції (3.29) не перевершує деякого додатного значення , то відбувається зупинка алгоритму. Зупинка алгоритму також може відбутися у випадку, коли його виконання не приводить до покращення функції пристосування або у тому випадку, коли алгоритмом уже виконано задане число ітерацій.

Після виконання однієї із трьох умов із популяції вибирається хромосома , для якої виконується умова (3.33). Після операції подвоєння і приєднання одиничного гену до хромосоми отримуємо - Ця хромосома задає структуру моделі оптимальної складності і формує матрицю F таким чином, що із початкової матриці вилучаються стовпці, які асоційовані з нульовими генами хромосоми . Перерахунок параметрів моделі (1.30) здійснюють на множині всіх точок початкового масиву даних.

К4. Селекція хромосом. За розрахованими на другому кроці значеннями функції пристосування здійснюють відбір тих хромосом, які будуть брати участь у створенні нащадків для подальшої популяції. Такий вибір проводять відповідно до принципу природного відбору, коли найбільші шанси у створенні нової популяції мають хромосоми з найкращим значенням функції пристосування, тобто такі, що забезпечують мінімальне значення критеріїв селекції (3.29).

Найбільш поширеними методами селекції [57] є метод рулетки і метод турнірної селекції.

Турнірний метод можна використовувати як у задачах максимізації, так і у задачах мінімізації функцій. При турнірній селекції всі хромосоми розбиваються на підгрупи з наступним вибором із кожної утвореної підгрупи хромосоми з найкращою пристосованістю. Підгрупи можуть мати довільний розмір, але частіше за все популяції ділять на підгрупи по 2 – 3 особи у кожній. На рис. 3.6 показано схему, яка ілюструє турнірний метод селекції для підгруп із z осіб.

К5. Формування нової популяції нащадків здійснюється за допомогою двох основних операторів: схрещування і мутації. Слід відмітити, що оператор мутації відіграє другорядну роль у порівнянні з оператором схрещування. Це означає, що у генетичному алгоритмі схрещування проводиться майже завжди, а мутація – досить рідко. Вірогідність схрещування досить велика ( ), тоді як ймовірність мутації вибирається досить малою ( )

Оператор мутації з ймовірністю змінює значення гена в хромосомі на протилежне, тобто з 1 на 0 чи з 0 на 1. Ймовірність мутації може вималюватись випадковим чином випадковим вибором числа із інтервалу [0;1] для кожного гена і відбором для виконання цієї операції тих генів, для яких розігране число виявиться меншим або рівним . Мутація може здійснюватись як над пулом родичів, так і над пулом потомків.

Оператор схрещування складається із двох етапів. На першому етапі формуються підгрупи із осіб, звідки вибирається найкраща хромосома за критерієм селекції . У результаті отримуємо нову популяцію хромосом, до якої застосовують оператор другого етапу.

На другому етапі здійснюється схрещування. Для цього із пулу родичів (рис.3.6) випадковим чином з ймовірністю утворюють пари у такий спосіб. Із популяції осіб випадковим чином вибирається пара хромосом. Генерується випадкове число із інтервалу [0; 1] і якщо його значення не більше ніж , то над парою хромосом здійснюється схрещування. У протилежному випадку пара хромосом залишається без зміни. Потім для кожної пари родичів розігрується позиція гена (локус) в хромосомі, яка визначає точку схрещування. Якщо хромосома кожного із родичів включає у себе m генів, то точка схрещування – це натуральне число, яке менше m. Тому фіксація точки схрещування зводиться до випадкового вибору цілого числа із інтервалу [1; ]. Дія оператора схрещування приводить до того, що із пари родичів утворюється нова пара потомків таким чином: перший потомок у парі, хромосома, якого на позиціях від 1 до складається із генів першого родича, а на позиціях від до m із генів другого родича; другий потомок у парі, хромосома, якого на позиціях від 1 до складається із генів другого родича, а на позиціях від до m із генів першого родича.

Після виконання оператора схрещування відбувається перехід до К2.

Із залежності, яка визначається зміною рівня води у р. Дністер (рис. 3.8), був виділений лінійний тренд

(3.34)

де – параметри лінійного тренду.

Коефіцієнти моделі (3.34) знайдемо, застосувавши метод найменших квадратів, у результаті отримали: =304,9214;

Q1 = – 0,3838.

Із числового ряду виділяємо стаціонарну складову коливного процесу (рис. 3.7). З використанням розробленого методу у середовищі MatLab написана програма виділення гармонічного тренду з некратними частотами. Було вибрано максимальне число частот ; число точок спостережень . Ймовірність схрещування , а ймовірність мутації склала . Таким чином, максимальне число коефіцієнтів моделі (3.14), які визначались, склало ; із них – 16 нульові. Результат роботи програми відтворює рис. 3.7, на якому знаком «о» відмічені експериментальні дані, а «+» – результат розрахунку за формулою (3.14).

Рисунок 3.7
Рисунок 3.7. Гармонічний тренд коливного процесу (р. Дністер)

Після виділення із експериментальних даних гармонічного тренду отримали залишок, графік якого показаний на рис. 3.18. Величину цього залишку визначимо із рівняння (3.13) за умови, що попередньо визначені лінійний і гармонічні тренди – . Величина є функцією параметрів, що визначають погодні умови у районі спостережень, тобто

, (3.35)

де: – середньодобова температура повітря, ◦ С;
– кількість опадів, мм/добу;
– середньодобова швидкість вітру, м/с;
– середньодобовий барометричний тиск, мм. рт. ст.

3.8.
Рисунок 3.8. Структурна схема системи «ділянка річки – спостерігач»

Оскільки рівень води у р. Дністер у значній мірі залежить від кількості опадів, що випали напередодні, то кінцевий вигляд функціональної залежності (3.35) був вибраний таким:

, (3.36)

де: t – поточний дискретний час
k – зсув у часі.

На основі спостережень за рівнем води у р. Дністер виявлено, що . Таким чином, функція (3.36) буде функцією семи змінних

(3.37)

Будемо розглядати ділянку річки, за якою ведеться спостереження разом зі спостерігачем, як деяку систему, що характеризується сукупністю вхідних величин і вихідною величиною y (рис. 3.9). У нашому випадку – , , , , , , , .

Співвідношення (1.54) будемо шукати у вигляді полінома

(3.38)

де: M – кількість членів полінома;
q – коефіцієнти полінома;
– степені аргументів, які повинні задовольняти обмеження

Число членів М полінома (3.38) визначають за такою формулою [11]:

(3.39)

Значення величини визначені у дискретні моменти часу . Вхідні величини , , які є аргументами виходу системи y , у кожному спостереженні t набувають певного значення так, що їх сукупність утворює матрицю

формула

Припустимо, що нам відомі параметри , моделі (3.38). Тоді за відомими значеннями величин можна обчислити

(3.40)

Систему рівнянь (3.40) зручно подати у матрично-векторній формі

(3.41)

де – обчислене значення виходу моделі (3.38) у кожній точці спостережень;
– матриця розміром , елементи якої добутки аргументів при параметрах , тобто

(3.42)

– вектор параметрів моделі (3.38).

Знаючи і , , можна обчислити критерій апроксимації

(3.43)

мінімізація якого дає рівняння

(3.44)

яке називають нормальним рівнянням методу найменших квадратів (МНК).

Безпосередньо із рівняння (3.44) можна знайти

(3.45)

Використовувати формулу (3.45) можна лише тоді, коли розмірність вектора параметрів невелика і матриця є добре зумовленою [17]. Якщо така умова не виконується, то для розв’язку рівняння (3.45) слід використовувати один із числових методів, наприклад, метод Гауса з вибором головного елемента [6].

У більшості випадків на вихід системи yY накладається перешкода е, так що спостерігачу доступна тільки величина . Якщо допустити, що е адитивна і має нормальний закон розподілу, то оцінки параметрів моделі (3.40) є незміщеними і ефективними [19].

На практиці, як правило, структура моделі (3.40) невідома, що призводить до необхідності довільного вибору як числа функцій, так і вигляду самих функцій у моделі (3.40). Критерій (3.42), який використовується для визначення параметрів моделі (3.40) за формулою (3.45) є внутрішнім критерієм [19] і його використання призводить до помилкового правила: чим складніша модель, тим вона точніша. Тому для вибору структури моделі (3.40) був запропонований індуктивний метод самоорганізації моделей [19], ідейну сторону якого визначає теорема Геделя. Відповідно до цієї теореми ніяка система аксіом не може бути логічно замкнутою: завжди можна знайти таку теорему, для доведення якої необхідне зовнішнє доповнення – розширення початкової системи аксіом. Стосовно задачі визначення структури моделі (3.40) геделівський підхід означає застосування зовнішнього критерію, який дає можливість однозначного вибору єдиної моделі із заданого класу моделей. Критерій називають зовнішнім, якщо його визначення засновано на застосуванні нових даних, які не використовувались при синтезі моделі (3.40). Це означає, що всі дані, які отримані у результаті експерименту, розбивають на дві частини і . Перша із них – навчальна, а друга – перевірна.

У більшості випадків для вибору структури моделі використовують критерії регулярності

(3.46)

і мінімуму зміщення

(3.47)

Якщо вибраний критерій регулярності (3.46), то вибирають такий розподіл даних експерименту [21]: і , а при виборі критерію (3.47) – і .

Як і раніше, для зняття проблеми великої розмірності застосуємо генетичний підхід. Як емпіричну модель будемо розглядати поліном (3.40) степеня m. Утворимо упорядковану структуру довжиною М, в якій на -тому місці буде стояти одиниця або нуль залежно від того чи параметр , моделі (3.40) відмінний від нуля, чи нульовий.

Таким чином, задачу синтезу емпіричної моделі сформуємо таким чином: із початкової популяції хромосом шляхом еволюційного відбору вибрати таку хромосому, яка забезпечує найкраще значення функції пристосування (мінімальне значення критерію селекції (3.46) або (3.47)).

Алгоритм розв’язку поставленої задачі аналогічний раніше розробленому для виділення гармонічного тренду.

На основі розробленого алгоритму була написана програма у середовищі MatLab для побудови математичної моделі залишку, який отримали після вилучення лінійного і гармонічного трендів. Було вибрано . З використанням розробленої програми синтезована модель, яка вміщує 173 ненульових і 330-173=157 нульових параметрів , полінома (3.40). Результати роботи програми відтворює рис. 3.9, де через «○» позначені експериментальні дані, а через «+» – значення у, які обчислені як вихід синтезованої моделі.

Зауважимо, якщо б модель будували комбінаторним методом, то довелося б перебрати моделей. Відповідно до формули (3.39) для і . Тоді варіантів, що практично неможливо реалізувати за допомогою сучасних персональних комп’ютерів.

Адекватність моделі перевірялась за допомогою коефіцієнта кореляції між значеннями та її виходом . Було отримано: =0,985, що свідчить про високий степінь кореляції між величинами і .

На рис. 3.9 показана залежність між виходом моделі і експериментальними значеннями . Для зручності інтерпретації результатів, величини, що нанесені на координатні осі, зведені до безрозмірного вигляду

ajhvekf

де – одна із величин або , а , їх мінімальні і максимальні значення.

3.9
Рисунок 3.9. Залежності рівня води від параметрів погодних умов (після вилучення лінійного і гармонічного трендів)

При виконанні умови на площині матимемо пряму лінію, яка засвідчує про повний збіг експериментальних результатів і виходу емпіричної моделі, побудованої за такими результатами. Пряма лінія, яка показана на рис. 3.11, побудована з використанням МНК-метода і вона вказує на досить мале відхилення експериментальних точок від розрахункових значень , що свідчить про адекватність синтезованої емпіричної моделі на засадах генетичних алгоритмів.

На цей самий рисунок нанесені довірливі інтервали, які побудовані на основі формули [65]

формула

де – безрозмірна статистика Стьюдента, яка підпорядкована
t – розподілу з ступенями свободи і для якої рівень значимості ;
– оцінка дисперсії відносно лінії регресії ;

формула

Рисунок 3.10.
Рисунок 3.10. Результати перевірки моделі на адекватність

Як показує рис. 3.10, переважна більшість точок (96,2 %) потрапляють у довірливий інтервал, що з високим ступенем імовірності можна стверджувати про адекватність побудованої математичної моделі. Вихід невеликого числа точок за межі довірливого інтервалу можна пояснити можливими промахами при вимірюваннях рівня, які ведуться візуально, або друкарськими помилками при підготовці звіту і звідки були взяті експериментальні дані.

Знайдені залежності , і дають можливість знайти

(3.48)

де , і – обчислювались відповідно за формулами (3.14), (3.34) і (3.41).

Рисунок 3.11.
Рисунок 3.11. Залежність рівня води у р. Дністер від погодних умов

Графік залежності рівня води у р. Дністер від погодних умов показаний на рис. 3.11, де «+» позначені обчислені значення, а значком «о» відмічені експериментальні значення рівня води у р. Дністер. Із графіка видно, що відбуваються досить задовільні збіги між розрахунковими і експериментальними даними.

Рисунок 3.11
Рисунок 3.11. Залежність рівня води у р. Дністер від погодних умов

Таким чином, застосування ідей генетичних алгоритмів до побудови математичної моделі зміни рівня води у р. Дністер дало можливість отримати адекватну модель і значно зменшити обсяг обчислень. Остання обставина відкриває широкі можливості для побудови складних моделей як фізичних явищ, так і технологічних процесів.

Отримана модель зміни рівня води у р. Дністер залежно від погодних умов може бути використана при прогнозуванні повеней, що, як показали події 2008 р., є досить актуальною проблемою для Прикарпатського регіону.

<<< назад | зміст | вперед >>>