ВИЩА МАТЕМАТИКА

РОЗРОБЛЕНО ТА ВНЕСЕНО: Київським інститутом економіки і менеджменту “ЕКОМЕН”

Обговорено і рекомендовано до друку Президією Науково-методичної комісії з напряму підготовки «Менеджмент», 19 жовтня 2001 р., протокол № 4.

ВСТУП

Програма вивчення нормативної дисципліни «Вища математика» складена відповідно до місця та значення дисципліни за структурно-логічною схемою, передбаченою освітньо-професійною програмою підготовки бакалавра з напряму 0502 «Менеджер», і охоплює всі змістовні модулі, визначені анотацією для мінімальної кількості годин, передбачених стандартом.

Предметом вивчення дисципліни «Вища математика» є загальні математичні властивості та закономірності.

Міждисциплінарні зв'язки: «Вища математика» є вихідною дисципліною математичного блоку.

Програма дисципліни «Вища математика» складається з таких розділів:

1. Мета та завдання дисципліни.
2. Зміст дисципліни.
3. Список рекомендованої літератури.

1. МЕТА ТА ЗАВДАННЯ ДИСЦИПЛІНИ “ВИЩА МАТЕМАТИКА”

1.1.Основною метою викладання є формування у майбутніх менеджерів базових математичних знань для розв'язування задач у професійній діяльності, вмінь аналітичного мислення та матема­тичного формулювання економічних задач..

1.2.Основними завданнями, що мають бути вирішені у процесі викладання дисципліни, є надання студентам знань з основних розділів вищої математики; визначень, теорем, правил; доведення основних теорем; та формування початкових умінь:

- самостійного опрацювання математичної літератури;
- розрахунків середніх величин;
- здійснення дій над векторами, матрицями, обчислення визначників;
- розв'язання систем лінійних рівнянь;
- дослідження форм і властивостей прямих та площин, кривих поверхонь другого порядку;
- класифікування функцій; числових послідовностей;
- знаходження границі ступенево-показникових функцій;
- дослідження функції за допомогою диференціальних числень;
- здійснювання інтегральних числень;
- ведення обчислення числових та степеневих рядів;
- розв'язання диференціальних рівнянь першого та вищого порядків, системи диференціальних рівнянь.
- побудови та використання економіко-математичних моделей,
- самостійно розширювати свої знання, розвивати логічне і алгоритмічне мислення.

2. ЗМІСТ ДИСЦИПЛІНИ

Розділ 1. Вступ до вищої математики

Вступ. Предмет і задачі вищої математики. Історія розвитку дисципліни, її основні розділи. Зростання ролі математики в економічних дослідженнях, управлінні організаційними системами та соціально-економічними процесами.

Елементи математичної логіки. Висловлення. Основні логічні знаки (квантори загальності, існування; знаки імплікації, логічної еквівалентності тверджень, логічного множення та логічного додавання). Логічні операції (кон'юнкція, диз'юнкція, заперечення, імплікація, еквівалентність), таблиця істинностей.

Основи теорії множин. Поняття множини, її елементів. Способи подання множини (переліком, вказівкою властивості елементів множини). Порожня (0) та універсальна (О) множини. Дії над множинами (включення, порівняння, доповнення, переріз, об'єднання, різниця, декартів добуток), властивості цих дій, зображення дій над множинами діаграмами Ейлера-Венна. Поняття відношення, відображення, функції.

Множина дійсних чисел. Аксіоми множини дійсних чисел (упорядкованості, додавання, множення, чисел 0 та 1, протилежного та оберненого чисел, Архімеда, повноти). Приклади підмножин дійсних чисел: відрізок, інтервал, півінтервали, промені (півпрямі), окіл та є-окіл. Характеристики дійсного числа: абсолютна величина (модуль), знак числа, ціла та дробова частини. Обмежені, необмежені числові множини. Найбільший, найменший елемент, верхня, нижня межа (мажоранта, міноранта), супремум, інфімум числової множини. Принцип існування точної верхньої, точної нижньої меж. Знаки (операції) підсумовування, їх властивості. Середні величини: арифметичне, геометричне, гармонійне. Нерівності Коші-Буняковського, Коші.

Розділ 2. Лінійна алгебра

Вектори, матриці, визначники. Означення вектора, типи векторів, порівняння векторів. Дії над векторами: транспонування, додавання, множення вектора на число, скалярний добуток векторів; властивості цих операцій, їх геометрична ілюстрація. Довжина (норма) вектора, її властивості. Кут між векторами. Відстань між векторами. Означення, типи матриць; основні особливі матриці (квадратна, трикутні, діагональна, одинична). Порівняння матриць. Дії над матрицями: додавання, множення матриці на число, на вектор, на матрицю, їх властивості. Транспонування матриці. Поняття оберненої матриці, властивості операції обернення матриці. Означення визначника, правила обчислення визначників: молодших порядків (схематичні), вищих порядків (розвиненням за формулами Лапласа). Властивості визначників. Обчислення деяких особливих визначників (трикутної, діагональної, одиничної матриць, Вандермонда). Обчислення оберненої матриці за допомогою визначників (алгебраїчних доповнень).

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Означення системи лінійних алгебраїчних рівнянь, розгорнута та матрична форми її запису. Означення розв'язку, сумісної або несумісної, визначеної або невизначеної системи. Розв'язування квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою оберненої матриці, за формулами Крамера. Еквівалентні перетворення, метод Гаусса-Жордана послідовного вилучення змінних для розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, його реалізація за допомогою таблиць. Знаходження оберненої матриці за методом Гаусса-Жордана. Поняття про ранг матриці та його обчислення. Теорема Кронекера-Капеллі; частинні та загальний розв'язки системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Лінійний векторний простір. Означення лінійного простору. Означення та основні теореми про лінійну залежність, лінійну незалежність елементів лінійного простору. Базис лінійного простору. Основні теореми про базис: єдиність розкладу, лінійна залежність (п+1) елементів, кількість базисних елементів. Розмірність лінійного простору. Координати елементів простору за даним базисом. Поняття підпростору. Поняття лінійного векторного простору. Ранг скінченої системи векторів, правила його обчислення.

Розділ 3. Аналітична геометрія

Система координат, пряма та площина. Прямокутна декартова система координат на площині. Рівняння прямої на площині: з кутовим коефіцієнтом, загальне, в'язки прямих, через задану точку, через дві точки, у відрізках на координатних осях, нормальне; віддаль та відхилення точки від заданої прямої. Взаємне розміщення двох прямих: перетин прямих, умови паралельності та перпендикулярності, кут між прямими. Графічне розв'язування систем лінійних рівнянь або нерівностей з двома змінними. Координати точки у просторі. Загальне рівняння площини у тривимірному просторі, нормальне рівняння. Віддаль і відхилення точки від площини. Рівняння прямої у тривимірному просторі як переріз двох площин.

Криві та поверхні другого порядку. Канонічні рівняння еліпса, гіперболи, параболи; дослідження їх форми, властивостей. Загальне рівняння кривої другого порядку, його зведення до канонічного вигляду. Канонічні рівняння: еліпсоїда, однопорожнинного та двопорожнинного гіперболоїдів, еліптичного та гіперболічного параболоїдів, конусів, циліндрів. Поняття про зведення загального рівняння поверхні другого порядку доканонічного вигляду.

Розділ 4. Вступ до математичного аналізу

Функціональна залежність. Означення функції однієї та багатьох змінних. Способи подання функції: табличний, графічний, аналітичний, описовий. Окремі спеціальні класи функцій: явні та неявні, задані параметричне, складені (задані суперпозицією). Монотонні, парні та непарні, опуклі та вгнуті, обмежені та необмежені функції. Класифікація функцій.

Числові послідовності. Поняття числової послідовності, способи її подання (аналітичний, рекурентний). Обмежені та необмежені числові послідовності. Збіжні числові послідовності, нескінченно малі, нескінченно великі послідовності, зв'язок між ними. Монотонні числові послідовності. Теорема Вейєрштрасса про границю монотонної послідовності. Число е. Збіжність послідовності векторів у зв'язку із покоординатною збіжністю. Гранична точка множини. Поняття замкненої множини.

Границя функції. Означення границі функції в точці за Гейне, за Коші, їх еквівалентність. Критерій Коші збіжності функції в точці. Односторонні границі функції однієї змінної. Властивості збіжних у точці функцій: обмеженість функції в околі точки збіжності, дії над збіжними функціями. Порівняння функцій, символи «о-мале", «о-велике". Еквівалентні функції, їх використання при знаходженні границі відношення функцій. Поняття повторних границь, теорема про повторні границі функції багатьох змінних. Перша та друга визначні границі. Таблиця найважливіших границь. Знаходження границь степенево-показникових функцій.

Неперервність функції. Поняття неперервності функції в точці; означення Коші, Гейне, за приростами аргументів та функції, їх еквівалентність. Одностороння неперервність функції однієї змінної в точці, необхідна і достатня умова неперервності, класифікація точок розриву. Локальні властивості неперервних функцій. Теореми про арифметичні дії над неперервними функціями, про неперервність суперпозиції функцій. Неперервність функції на множині. Неперервність елементарних функцій. Теореми про функції, неперервні на замкненій множині: теореми Больцано-Коші про нулі, про проміжне значення функції; теореми Вейєрштрасса: про обмеженість, про екстремуми функції. Поняття про рівномірну неперервність функції на множині, теорему Кантора.

Розділ 5. Диференціальне числення

Похідна, градієнт, похідна за напрямом та диференціал. Означення диференційованої функції, її диференціала; похідна функції однієї змінної, частинні похідні, градієнт функції багатьох змінних, їх властивості, геометрична ілюстрація. Похідна за напрямом функції багатьох змінних, її зв'язок з градієнтом. Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функцій. Таблиця похідних. Похідні функцій, заданих у параметричній, неявній формах. Еластичність функції. Однорідні функції, теорема та рівняння Ейлера для однорідних функцій.

Основні теореми диференціального числення. Необхідна умова внутрішнього екстремуму - теорема Ферма. Теорема Ролля про нулі похідної функції, теореми Лагранжа, Коші про скінченні прирости функції однієї змінної, їх геометрична ілюстрація. Правило Лопіталя розкриття невизначеностей.

Похідні та диференціали вищих порядків. Означення похідних, диференціалів вищих порядків. Похідні вищих порядків елементарних функцій. Розвинення функцій однієї та багатьох змінних за формулою Тейлора-Маклорена із залишковим членом у формулі Пеано; поняття про залишкові члени у формулі Лагранжа, Коші. Розвинення за формулою Тейлора-Маклорена основних елементарних функцій.

Дослідження функцій за допомогою диференціального числення. Умови монотонності функції однієї змінної. Необхідні, достатні умови екстремуму функції однієї та багатьох змінних. Умови опуклості, угнутості, перегину функції. Асимптоти функції: вертикальні, горизонтальні, похилі; поняття про асимптотичні багаточлени. Схема повного дослідження і побудови графіка функції однієї змінної. Поняття умовного екстремуму функції багатьох змінних; Лагранжів метод невизначених множників розв'язування задач на умовний екстремум. Поняття про задачі та методи математичного програмування і дослідження операцій.

Розділ 6. Інтегральне числення

Невизначений інтеграл. Поняття первісної функції, невизначеного інтеграла. Табличні інтеграли. Методи інтегрування: заміною змінної, частинами. Лінійність інтегрування. Інтегрування раціональних, ірраціональних та тригонометричних функцій; раціоналізуючі підстановки. Поняття про класи інтегрованих функцій, критерій інтегрованості.

Визначений інтеграл. Означення визначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца. Властивості визначеного інтеграла: перестановка меж інтегрування, адитивність відносно меж, інтегрування, лінійність інтегрування, диференціювання за межами інтегрування. Інтегрування: заміною змінної, частинами у визначеному інтегралі. Теореми про середнє, середнє значення функції. Розв'язування геометричних задач за допомогою визначених інтегралів. Поняття про невласні інтеграли; інтеграли, що залежать від параметра, про формулу Тейлора-Маклорена, розвинення функції із залишковим членом в інтегральній формі.

Поняття про кратні інтеграли. Означення кратного інтеграла. Властивості кратного інтеграла та інтегрованих функцій багатьох змінних. Теореми про середнє, середнє значення функції багатьох змінних. Зведення кратного інтеграла до повторних інтегралів.

Розділ 7. Ряди

Числові ряди. Означення числового ряду, його суми. Необхідна умова збіжності, критерій Коші збіжності числового ряду. Гармонійний ряд, його розбіжність. Достатні умови збіжності додатних числових рядів: порівняння, Даламбера, Коші, інтегральна ознака Коші-Маклорена. Узагальнений гармонійний ряд. Знакозмінні числові ряди, абсолютна та умовна збіжність. Знакопочережні ряди, ознака збіжності Лейбніца.

Степеневі ряди. Означення степеневого ряду, теорема Абеля про його збіжність. Радіус та інтервал збіжності степеневого ряду, формули їх обчислення. Неперервність, диференційованість та інтегрованість сум степеневого ряду. Поняття про функціональну послідовність, функціональний ряд, тригонометричні ряди Фур'є.

Розділ 8. Диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння першого порядку. Звичайне диференціальне рівняння першого порядку; задача Коші. Теорема про існування та єдиність розв'язку диференціального рівняння першого порядку; частинний та загальний розв'язки. Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними. Диференціальні рівняння, які зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними.

Диференціальні рівняння вищих порядків, системи диференціальних рівнянь. Поняття про диференціальні рівняння вищих порядків та системи диференціальних рівнянь. Розв'язування лінійних диференціальних рівнянь другого порядку із сталими коефіцієнтами. Розв'язування систем лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про різницеві рівняння і системи різницевих рівнянь.

3. СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика: Навч. посіб. -К.: НАУ, 1997, 1999.
2. Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика: Навч. посібник. У 2-х ч - К.:КНЕУ, 2001.
3. Вища математика: Навч.-метод, посіб. для самост. вивч. дисципліни / К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова, О.І. Лютий, О.І Макаренко, В.Г. Овсієнко. - К.: КНЕУ, 1999.
4. Высшая математика для экономистов: Учеб. пособие / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки й биржи, ЮНИТИ, 1997, 2000.
5. Неміш В.М., Процик А.І., Березька К.М. Вища математика (практикум): Навч. посіб. - Тернопіль: Економічна думка, 2001.
6. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс. Збірник задач та вправ. - X.: Рубікон, 1999.
7. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М.: Физматгиз, 1973.
8. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Наука , 1966.
9. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии й линейной алгебры. - М.: Наука, 1984.
10. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. -М.: Наука, 1986.
11. Цубербиллер О.Н. Задачи й упражнения по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1970.
12. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1, Т.2. -М.: Наука, 1976.
1З. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. - М.: Наука, 1971.
14. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное й интегральное исчисление. - М.: Наука, 1984.
15. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1985.
16. Задачи й упражнения по математическому анализу для втузов Под ред. Б.П.Демидовича. - М.: Наука, 1978.
17. Дубровник В.П., Юрик 1.1., Вища математика: Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993-648 с.
18. Бугров Я.З., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. -М.: Наука, 1983.
19. Ильин В.А., Позняк Е.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1981.
20. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. - М.: Физматгиз, 1985.

ДОДАТКОВА

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциальные уравнения й операционное исчисление. - М.: Наука, 1968.
2. Зльсгольц ЛЗ. Дифференциальные уравнения и опера­ционное исчисление. - М.: Наука, 1965.
3. Каплан Й.А. Практические занятия по высшей математике. Т.1 - Т.5. Харьков: Изд. Харьковского ун-та, 1971- 1973.
4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты. - М.: Высш. шк., 1983.
5. Демидович Б.П., Марон Й.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1972.
6. Коба В.И. й др. Определители, матрицы й системи линейных уравнений: Учеб. пособие. - Киев: КИИГА, 1985.
7. Буйвол В..Н., Васьковская Т.Г., Конилович Е.Ю., Интегральное исчисление: Тексты лекций. - К.: КИИГА, 1994. -200с.
8. Неопределенный интеграл: Метод. Разработка Сост. Коба В.И., Мечетный В.С., Степаненко Е.Ю., Антоненко В.Ф. - К.: КИИГА, 1983.-52с.
9. Определенный интеграл: Метод, разработка / Сост. -Мечетный В. С., Коба В.И., Алексеев В.М. - К.: КИИГА, 1983. - 60 с.
10. Несобственный интеграл: Методическая разработка. Сост. Мечетный В.С. - К.: КИИГА, 1983. - 23 с.
11. Буйвол В.Н., Криводуб Ю.Г., Овсянников М.П. Ряды: Учеб. пособие. -К.: КИИГА, 1992. - 82 с.